〜じゃないと仮定する？背理法を用いた証明

$\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数であることを証明せよ。

ただし、 $\sqrt{7}$ は無理数であることは知られているものとする。

本日の問題は、背理法を用いた証明問題です。

証明問題は苦手な方が多いと思います。

しかし、高校数学の証明問題は細かいことは気にせずにパターン化して覚えてしまえば良いです。

パターン化させて機械的に解いていると知らないうちに理解できているものです。

背理法

ある命題 $X$ に対し、 $X$ が成り立たないと仮定して、矛盾を導くことにより、 $X$ が成り立つことを示す証明法のことをいう。

Point

無理数の反対は有理数

有理数の定義は、分数で表すことができる数字である。

題意が成り立たないと仮定する　
つまり、 $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数でない（ $＝$ 有理数である）と仮定する

与式を文字に置く
　 $\sqrt{5}+\sqrt{7}＝r$ とおく。（ $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は有理数であると仮定しているので $r$ も有理数）

　 $\sqrt{5}=r-\sqrt{7}$

両辺を2乘すると、

　 $5=r^{2}-2r\sqrt{7}+7$

　 $2r \sqrt{7}=r^{2}+2$

　 $\sqrt{7}=\displaystyle\frac{r^{2}+2}{2r}$

矛盾を見つける
　 $\sqrt{7}=\displaystyle\frac{r^{2}+2}{2r}$ について

$r$ は有理数より、 $2r$ と $r^{2}+2$ は共に有理数となる。

よって、

　 $\displaystyle\frac{r^{2}+2}{2r}$ は有理数となり、左辺の $\sqrt{7}$ も有理数となる。

これは $\sqrt{7}$ が無理数であることに矛盾する。

$\ast$ 問題文に「 $\sqrt{7}$ は無理数である」ということは明記されている。

したがって、 $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ は無理数である。

今回の問題は、背理法を用いた証明問題でした。

証明問題は難しいですが、

細かいことは考えずに、

「無理数もしくは有理数が含まれた証明問題には背理法を使用する。」

とパターン化させてしまっても良いかもしれません。

もちろん例外は存在しますが、例外が実際に存在した時に、

「こういうパターンもあるのか〜」と修正していけば良いのです。

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