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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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誰もがつまずく平方完成のやり方２選

数学Ⅰ 数学Ⅰ-二次関数

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問題

次の式の平方完成をしなさい。
$(1)$ $x^{2}+4x-1$

$(2)$ $2x^2+4x+5$

問題
つまずきポイント
- 平方完成の解き方の種類
解説
- 解法①　システマティックに解く
- 解法②　因数分解
おわりに
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つまずきポイント

今回は、グラフを描く時に必須となる平方完成についてです。

ただ解説するのではなく、平方完成のやり方２選を紹介します。

計算がかなり複雑ですが、

以下に紹介する二つのやり方のうち、自分に合うやり方を選んでくれれば良いです。

平方完成の解き方の種類

①　システマティックに解く方法

②　仕組みを理解して解く方法

この２パターンあります。

自分に合った方法で計算できれば問題ないですが、

解いてればパターン②のやり方が理解できてくるので、迷ったら①で良いかもしれません。

解説

解法①　システマティックに解く

Point

$x^{2}+$ $a$ $x$

$=\left(x+ \displaystyle\frac{a}{2}\right)^{2}-\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^{2}$

$\ast$ $x$ の係数 $a$ の半分 $\left(\times\frac{1}{2}\right)$ をカッコの中に入れて、その $2$ 乗を引く。

以上を踏まえると、

$(1)$

$y=x^{2}+4x-1$
$=(x+2)^{2}-2^{2}-1$
$=(x+2)^{2}-4-1$
$=(x+2)^{2}-5$

$(2)$

$2x^2+4x+5$ （ $x^2$ に係数がついてる場合は、「 $\spadesuit$ $x^2+$ $\clubsuit$ $x$ 」の部分を係数でくくる。）

$=2($ $x^2 +2x$ $)+5$ （下線部分に対して、 $(1)$ と同じことをする。）

$=2$ $\left\{(x+1)^2-1\right\}$ $+5$

$=2(x+1)^2-2+5$

$=2(x+1)^2+3$

解法②　因数分解

Point
$(x+□)^{2}$ の形になるように定数を調整する。

$(1)$

$y=x^{2}+4x-1$
$=(x^{2}+4x+4)-4-1$

$+4$ することで $(x+□)^{2}$ の形を作ることができる。
しかし、 $+4$ するだけでなく $-4$ をして調整してるところに注意

$=(x+2)^{2}-4-1$
$=(x+2)^{2}-5$

$(2)$

$2x^2+4x+5$ （ $x^2$ に係数がついてる場合は、「 $\spadesuit$ $x^2+$ $\clubsuit$ $x$ 」の部分を係数でくくる。）

$=2($ $x^2 +2x$ $)+5$ （下線部分に対して、 $(1)$ と同じことをする。）

$=2$ $\left\{(x^2+2x+1)-1\right\}$ $+5$

$+1$ することで $(x+□)^{2}$ の形を作ることができる。
しかし、 $+1$ するだけでなく $-1$ をして調整してるところに注意

$=2$ $\left\{(x+1)^2-1\right\}$ $+5$

$=2(x+1)^2-2+5$

$=2(x+1)^2+3$

おわりに

今回は、誰もがつまずく平方完成のやり方２選を紹介しました。

平方完成は、二次関数の問題を解くためのスタート地点としてとても重要な計算です。

何百問と解いて体に染みつけかせましょう。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

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いつでもお待ちしております。

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