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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
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円の中の四角形の手も足もでない感はすごい！円に内接する四角形についての問題

数学Ⅰ 数学Ⅰ-図形と計量数学Ⅰ-図形と計量-正弦定理と余弦定理

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はじめに

今回は、円に内接する四角形についての問題です。

円に内接する四角形とは、

四角形の各頂点が円周上にあり、四角形が円の内側に位置しているということです。

↓こんな感じです。

f:id:smohisano:20210523092152p:plain

円に内接する四角形にはある性質があります。

その性質が立式のヒントになるので、しっかりと押さえておきましょう。

円に内接する四角形の性質

円に内接する四角形 $ABCD$ は、

向かい合う角度の和が $180°$ という性質を持っています。

つまり、

片方の角度を $\theta$ とおくと、もう片方の角度は $(180°-\theta)$ とかける。

このとき、 $\cos\theta$ と $\cos$ $(180°-\theta)$ の関係は、

$\cos$ $(180°-\theta)=-\cos\theta$

三角比を用いた三角形の面積の求め方

$\triangle{ABC}$ の面積を $S$ とおくと、

f:id:smohisano:20210830103908p:plain

与えられている辺の大きさや角度によって下記の公式を使い分けましょう。

$S=\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\angle A$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\angle B$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\angle C$

図を描く

問題文を見ながら、図を描いていく。

図は正確でなくていいが、ある程度の長さの関係が図示できると、より良いです。

f:id:smohisano:20210523092152p:plain

はじめに
問題
解説
実際の答案
おわりに
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問題

円に内接する四角形 $ABCD$ がある。

$AB=4$ ,　 $BC=5$ ,　 $CD=7$ ,　 $DA=10$ のとき

$(1)$ 　 $\cos A$ の値を求めよ

$(2)$ 　四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

解説

$(1)$

$\triangle ABD$ と $\triangle CBD$ それぞれに余弦定理

$\triangle ABD$ において

f:id:smohisano:20210523092307p:plain

$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2･AB･AD$ $\cos A$

$BD^{2}=116-80\cos A$ $\cdots$ ①

$\triangle CBD$ において

f:id:smohisano:20210523092236p:plain

$BD^{2}=CB^{2}+CD^{2}-2･CB･CD$ $\cos$ $(180°-A)$

$\cos$ $(180°-\theta)=-\cos\theta$ より

$BD^{2}=CB^{2}+CD^{2}-2･CB･CD\cdot$ $(-\cos A)$

$BD^{2}=74+70\cos A$ $\cdots$ ②

連立方程式を解く。

$\begin{cases}BD^{2}=116-80\cos A\cdots①\\BD^{2}=74+70\cos A\cdots②\end{cases}$

$(2)$

$\sin A$ を求める

$\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$ より

$\sin A=\displaystyle\frac{24}{25}$

面積を求める

f:id:smohisano:20210523092358p:plain

図のように、 $(i)$ と $(ii)$ に分けて求める。

$\big($ $(ⅰ)$ の面積 $\big)$ $=\displaystyle\frac{1}{2}AB･AD･\sin A$

$\big($ $(ⅱ)$ の面積 $\big)$ $=\displaystyle\frac{1}{2}BC･CD･\sin A$

$(ⅰ)$ , $(ⅱ)$ より

$(i) で求めた面積+(ii) で求めた面積$

ここまでの内容を踏まえて実際の答案を見てみましょう。

実際の答案

$(1)$ 　

$\triangle ABD$ と $\triangle CBD$ それぞれに余弦定理

$\triangle ABD$ において

$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2･AB･AD$ $\cos A$

$BD^{2}=116-80\cos A$ $\cdots$ ①

$\triangle CBD$ において

$BD^{2}=CB^{2}+CD^{2}-2･CB･CD\cdot\cos$ $(180°-A)$

$BD^{2}=CB^{2}+CD^{2}-2･CB･CD\cdot (-\cos A)$

$BD^{2}=74+70\cos A$ $\cdots$ ②

$\begin{cases}BD^{2}=116-80\cos A\cdots①\\BD^{2}=74+70\cos A\cdots②\end{cases}$

①,　②より

$116−80\cos A=74+70\cos A$

　　 $150\cos A=42$

$\cos A=\displaystyle\frac{42}{150}=\frac{7}{25}$

$(2)$ 　

$\sin A$ を求める

$\sin^{2} A+\cos^{2} A=1$ より

$\sin^{2} A+ \left( \displaystyle\frac{7}{25} \right) ^{2}=1$

$\sin^{2} A=\displaystyle\frac{576}{625}$

$\sin A=\pm\displaystyle\frac{24}{25}$

$\sin A$ > $0$ より

$\sin A=\displaystyle\frac{24}{25}$

f:id:smohisano:20210523092358p:plain

$(i)$ の面積

$\big($ $(ⅰ)$ の面積 $\big)$ $=\displaystyle\frac{1}{2}AB･AD･\sin A$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\times4\times10\times\frac{24}{25}$

$=\displaystyle\frac{96}{5}$

$(ii)$ の面積

$\big($ $(ⅱ)$ の面積 $\big)$ $=\displaystyle\frac{1}{2}BC･CD･\sin A$

$=\displaystyle\frac{1}{2}\times5\times7\times\frac{24}{25}$

$=\displaystyle\frac{84}{5}$

$(ⅰ)$ ,　 $(ⅱ)$ より

$\displaystyle\frac{96}{5}+\frac{84}{5}$ $=\displaystyle\frac{180}{5}$ $=36$

おわりに

今回は、円に内接する四角形についての問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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