「〜のとき」と来たら条件付き確率！赤玉と白玉が入ってる袋から玉を取り出す条件付き確率

はじめに

今回は、赤玉と白玉が入ってる袋から玉を取り出す条件付き確率の問題です。

条件付き確率は、「〜のとき、〜となる確率」のように問題文は書かれていることが多いです。

「〜のとき」という条件が付くだけで、一気に難易度が上がりますね。

条件付き確率の公式

条件付き確率

事象 $A$ が起こるという条件のもとで事象 $B$ が起こる場合、

$P_A(B)$ と表され、以下のように表される。

　　　 $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Point

「事象 $A$ が起こるという条件」の部分が、問題文だと「〜のとき」と表されてる場合が多いです。

通常の確率と違い

通常の確率：確率 $P(A)=$ $\displaystyle\frac{求めたいパターン}{考えられるパターン全て}$

条件付き確率：確率 $P(A)=$ $\displaystyle\frac{求めたいパターン}{条件を満たすパターン}$ 　 $\cdots$ ( $\ast$ )

このように、通常の確率と条件付き確率では、分母の表され方が異なります。

条件付き確率では、「事象 $A$ が起こるという条件」で表されるパターンが代入されます。

問題

赤玉 $5$ 個、白玉 $4$ 個が入っている袋から、玉を $1$ 個取り出し、それをもとに戻さないで、続いてもう $1$ 個取り出す。 $1$ 回目に赤玉が出たとき、 $2$ 回目も赤玉が出る確率を求めよ。

解説

２パターン解法を紹介します！

どちらでやっても得られる答えはもちろん同じです。自分のやりやすい方で理解できると良いかと思いますが、難易度が上がると汎用性が良いのは解法②になります。

解法①

条件を満たすパターン

条件は「 $1$ 回目に赤玉が出たとき」という部分なので、

条件を満たすパターンは、

「 $1$ 回目に赤玉を取り出し、 $2$ 回目はなんでもいいパターン」となる。

求めたいパターン

「 $1$ 回目に赤玉を取り出し、 $2$ 回目も赤玉を取り出すパターン」となる。

条件を満たすパターンと求めたいパターンを求めたら、( $\ast$ )の式に代入しよう

$\displaystyle\frac{求めたいパターン}{条件を満たすパターン}$

解法②

事象 $A$ ：１回目に赤玉が出る

事象 $B$ ：２回目に赤玉が出る

とする。

$P(A)$ と $P(A\cap B)$ それぞれを計算する。

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ へ代入する。

実際の答案

解法①

「 $1$ 回目に赤玉を取り出し、 $2$ 回目はなんでもいいパターン」を求める。

　　 $1$ 回目に赤玉を取り出す： $5$ 通り

　　 $2$ 回目はなんでもいい： $8$ 通り

　　　よって、　 $5\times8=40$ 通り

　次に、

「 $1$ 回目に赤玉を取り出し、 $2$ 回目も赤玉を取り出すパターン」を求める。

　　 $1$ 回目に赤玉を取り出す： $5$ 通り

　　 $2$ 回目に赤玉を取り出す： $4$ 通り

　　　よって、　 $5\times4=20$ 通り

したがって、

$\displaystyle\frac{20}{40}$ $=\displaystyle\frac{1}{2}$

解法②

事象 $A$ ：１回目に赤玉が出る

事象 $B$ ：２回目に赤玉が出る

とする。

$P(A)$ と $P(A\cap B)$ それぞれを計算する。

　 $P(A)=\dfrac{5}{9}$

　 $P(A\cap B)=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{4}{8}$

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ へ代入する。

　　 $=\dfrac{\dfrac{5}{9}\times\dfrac{4}{8}}{\dfrac{5}{9}}$

　　 $=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

おわりに

今回は、赤玉と白玉が入ってる袋から玉を取り出す条件付き確率の問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

sites.google.com

数学を学ぶためのキットが揃っています。

「途中式を飛ばさない」数学学習サイトとなっています。

ぜひ、学習に役立たせてください。

Math Kit

途中式を飛ばさない数学ブログ