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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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型にはめるだけ！等式の証明をわかりやすく解説

数学Ⅱ 数学Ⅱ-式と証明

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はじめに

今回は、等式の証明の問題です。

証明問題は、苦手な人が多いかもしれませんね。

まずは、型にはめて慣れるところから始めましょう。

等式の証明の解法

$A=B$ の証明について

公式 ①　 $A$ か $B$ の一方を変形して証明する

公式 ②　両辺 $A,$ 　 $B$ をそれぞれ変形して証明する

公式 ③　右辺を $0$ にして、 $A-B=0$ であることを証明する

公式 ①の方法を例で見てみましょう。

例） $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ を証明せよ。

（左辺） $=(a+b)(a+b)$

　　　　 $=a^2+ab+ab+b^2$

　　　　 $=a^2+2ab+b^2=$ （右辺）

等式の証明の型

公式 ① の型

（左辺） $=$ ○○○

　　　　 $=$ △△△

　　　　 $=$ ××× $=$ （右辺）

よって、与式は成り立つ。

公式 ② の型

（左辺） $=$ ○○○

　　　　 $=$ △△△

　　　　 $=$ ××× $\cdots$ ①

（左辺） $=$ ☆☆☆

　　　　 $=$ ♩♩♩

　　　　 $=$ ▲▲▲ $\cdots$ ②

① $=$ ② より与式は成り立つ。

公式 ③ の型

（左辺） $-$ （右辺） $=$ ○○○

　　　　　　　　　　　 $=$ ×××

　　　　　　　　　　　 $=$ △△△ $=0$

（左辺） $-$ （右辺） $0$ より（左辺） $=$ （右辺）となるので、

与式は成り立つ。

はじめに
- 等式の証明の解法
- 等式の証明の型
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

$a+b+c=0$ のとき

　　　等式　 $a^{2}+2b^{2}-c^{2}+3ab+bc=0$ 　

を証明せよ。

答案の例

文字を減らす

$a+b+c=0$ より

$c=-a-b$ $\cdots$ $\ast$

与式に $\ast$ を代入

　 $a^{2}+2b^{2}-(-a-b)^{2}+3ab+b(-a-b)$

$=a^{2}+2b^{2}-(a^{2}+2ab+b^{2})+3ab-ab-b^{2}$

$=a^{2}+2b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}+3ab-ab-b^{2}$

$=a^{2}-a^{2}+2b^{2}-b^{2}-b^{2}+3ab-ab-2ab$

$=0$

よって、

$a^{2}+2b^{2}-c^{2}+3ab+bc=0$

は成り立つ。

解説

文字を減らす

今回の問題を見ると、文字が $a$ ,　 $b$ ,　 $c$ と $3$ つあるのがわかりますね。どの問題でもそうですが、文字が多い式は扱いづらいです。

なので、工夫して文字が減らせるのであれば減らしたいところです。

条件（ $a+b+c=0$ ）を使って、文字を減らして解きやすくしましょう。

$a+b+c=0$ より

$c=-a-b$ $\cdots$ $\ast$

$c$ に代入して文字を減らそう

与式に $\ast$ を代入

　 $a^{2}+2b^{2}-(-a-b)^{2}+3ab+b(-a-b)$

$=a^{2}+2b^{2}-(a^{2}+2ab+b^{2})+3ab-ab-b^{2}$

$=a^{2}+2b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}+3ab-ab-b^{2}$

代入したら、公式 ① を使用する。

$=a^{2}-a^{2}+2b^{2}-b^{2}-b^{2}+3ab-ab-2ab$

$=0$

よって、

$a^{2}+2b^{2}-c^{2}+3ab+bc=0$

と言える。

おわりに

今回は、等式の証明でした。

型にはめて解けるようになりましょう。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

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