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【軌跡の問題】アポロニウスの円『公式ではなく解法に当てはめる』

数学Ⅱ 数学Ⅱ-図形と方程式
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本日の問題

【問題】

2 点 A(-4,0), B(2,0) からの距離の比が 2:1 である点の軌跡を求めよ。

 

 

 つまずきポイント

難しいポイント

⇨公式がないこと

 

公式に当てはめるのではなく、

解法に当てはめる。

 

軌跡の問題の解法

①　動点を見極める

　　問題文の「〜の点の軌跡を求めよ。」という部分に注目する。

②　動点を P(x,y) と置く

　　同点の文字は必ずしも P でなくても良い。

③　x と y を用いた方程式を立てる

　　１番の難所だが、問題文のどこかに方程式を立てるためのヒントが隠されている。

 

 

解説

条件を満たす点を P(x,y) とすると

AP：BP＝2：1

ゆえに、　AP=2BP

両辺を 2 乗すると、　AP^{2}=4BP^{2} \cdots \ast

となる。

AP^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}

BP^{2}=(x-2)^{2}+y^{2} より、

\ast に当てはめると、

(x+4)^{2}+y^{2}=4\left\{ (x-2)^{2}+y^{2} \right \}

 

整理して、　x^{2}+y^{2}-8x=0

すなわち、　(x-4)^{2}+y^{2}=4^{2}

よって、条件を満たす点は、円 (x-4)^{2}+y^{2}=4^{2} 上にある。

 

逆に、円 (x-4)^{2}+y^{2}=4^{2} 上の任意の点は、条件を満たす。

したがって問題を満たす軌跡は、

 

中心が(4,0)、半径が4の円

 

おわりに

軌跡を苦手とする人は非常に多いです。

 

数学は、必ずしも公式に当てはめるだけの問題ばかりではありません。

今回のように、解法に当てはめる癖もつけましょう。

 

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

 

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7