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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
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【微分法】微分で傾きを求めて接線を求める

数学Ⅱ 数学Ⅱ-微分法

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問題

点 $(2,-2)$ から曲線 $y=\dfrac{1}{3}x^{3}-x$ に引いた接線の方程式を求めよ。

問題
つまずきポイント
- 使用する公式
解説
おわりに

つまずきポイント

接線を求めるために必要な要素は、接点と傾きです。

接点と傾きは、

問いに与えられている時もあれば与えられていない時もあります。

接点が与えられていない時は、接点を文字に置く。

今回の問題の場合）接点 $\left(t,\,\dfrac{1}{3}t^{3}-t \right)$ とおく

傾きが与えられていない時は、微分することにより求める。

今回の問題の場合） $y'$ に $x=2$ を代入する。

使用する公式

$y=f(x)$ 上の点 $(t,\, f(t))$ における接線の方程式は、

$y-f(t)=f'(t)(x-t)$ （ $f'(t)$ ：接線の傾き）

接線の傾き $f'(t)$ を求める手順

①　 $f(x)$ を微分をする。（ $f'(x)$ を求める）

②　 $f'(x)$ の $x$ 座標に接点の $x$ 座標を代入する

解説

接点 $\left(t,\,\dfrac{1}{3}t^{3}-t \right)$ とおく

$y=f(x)$ とおくと、

$f'(x)=x^2-1$

$f'(t)=$ $t^2-1$ （接点の $x$ 座標 $t$ を代入する）

よって、

$y-\left(\dfrac{1}{3}t^{3}-t \right)=$ $(t^2-1)$ $(x-t)$

$y-\dfrac{1}{3}t^{3}+t =(t^2-1)x-(t^2-1)t$

$y=(t^2-1)x-t^3+t+\dfrac{1}{3}t^3-t$

$y=(t^2-1)x-\dfrac{2}{3}t^3$ $\cdots$ $\ast$

ここで、接線 $\ast$ は点 $(2,\, -2)$ を通るので、

$-2=(t^2-1)\times 2-\dfrac{2}{3}t^3$

$-2=2t^2-2-\dfrac{2}{3}t^3$

$0=2t^2-\dfrac{2}{3}t^3$

$-\dfrac{2}{3}t^3+2t^2=0$

$\dfrac{2}{3}t^3-2t^2=0$

$2t^3-6t^2=0$

$2t^2(t-3)=0$

$t=0$ , $3$

$t=0$ のとき $\ast$ より

接線は、 $y=-x$ となる

$t=3$ のとき $\ast$ より

接線は、 $y=8x-18$ となる

おわりに

接線の方程式に必要なのは、接点と傾きです。

接点：問題にない時は、文字でおく。

傾き：微分した式に接点の $x$ 座標を代入する。

接点が与えられているかどうか、傾きが与えられているかどうかは問題文をしっかりと読んで判断しましょう。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

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いつでもお待ちしております。

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