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登らずして測る！タンジェントを使った木の高さの測り方

数学Ⅰ 数学Ⅰ-図形と計量
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はじめに

タンジェントを使って木の高さを測る問題を解説していきます。

 

タンジェントを使うことによって、下から木を眺めて高さを測ることができます。

わざわざ登らなくても良いということですね笑

 

突然ですが、目の前に立ってる木の高さを測りなさいって言われたどうやって測りますか？

 

木の高さをどうやって測る？

現代の便利なツールがないとしたら、実際にせっせと登って上からメジャーとかを垂らして測るのではないでしょうか？

f:id:smohisano:20210825110527j:plain

しかし、タンジェントという概念を知っていればわざわざ木登りで危険を冒してまで測る必要はありません。

 

図形問題のポイント

図形問題を解く際に、

問題をただ眺めていても何をすれば良いのかは見えてきません。

 

重要なことは、

問題文から情報を抜き出し、図にしてみることです。

そうすれば、何をすればいいのかが少しずつ見えてきます。

 

三角比とは？

そもそも三角比とはなにかが理解できていない人はこちらをチェック！

www.smohisano.com

 

 

問題

目の高さが 1.5m の人が、平地に立っている木の高さを知るために、木の前方の地点 A から測った木の頂点の仰角が 30°、A から木に向かって 10m 近づいた地点 B から測った仰角が 45° であった。木の高さを求めよ。

 

解説

図を描くための情報を抜き出しましょう。

  1. 木の前方の地点 A から測った木の頂点の仰角が 30°
  2. A から木に向かって 10m 近づいた地点 B から測った仰角が 45°

これらの情報を図に落とし込むと、

f:id:smohisano:20210611214034p:plain


\ast 目の高さの 1.5m は図から省いています。


三角比で表そう。
\triangle ACD において

f:id:smohisano:20210611214824p:plain

 
\tan 30°=\displaystyle\frac{h}{10+x}
h=(10+x)\tan 30°

　\tan 30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}} より

h=\displaystyle\frac{10+x}{\sqrt{3}} \cdots①

 


\triangle BCD において

f:id:smohisano:20210611214855p:plain

 
\tan 45°=\displaystyle\frac{h}{x}

h=x \tan 45°

　\tan 45°=1 より

h=x \cdots②

 
①、②を用いて、h を求めよう
\begin{cases}h=\displaystyle\frac{10+x}{\sqrt{3}} \cdots① \\h= x \cdots②\end{cases}

ここまでの内容を踏まえて実際の答案を見ていきましょう。

 

実際の答案

f:id:smohisano:20210611214034p:plain

　\triangle ACD において

\tan 30°=\displaystyle\frac{h}{10+x}
h=(10+x)\tan 30°

　\tan 30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}} より

h=\displaystyle\frac{10+x}{\sqrt{3}} \cdots①

　\triangle BCD において

\tan 45°=\displaystyle\frac{h}{x}

h=x \tan 45°

　\tan 45°=1 より

h=x \cdots②

よって、
\begin{cases}h=\displaystyle\frac{10+x}{\sqrt{3}} \cdots① \\h= x \cdots②\end{cases}

 

①, ②より

h=\displaystyle\frac{10+h}{\sqrt{3}}

h=\dfrac{10}{\sqrt{3}}+\dfrac{h}{\sqrt{3}}

h-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}h=\frac{10}{\sqrt{3}}

\left(1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)h=\frac{10}{\sqrt{3}}

\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)h=\frac{10}{\sqrt{3}}

h=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}

　=\displaystyle\frac{10}{\sqrt{3}-1}　

　=\displaystyle\frac{10\sqrt{3}+10}{2}

　=5\sqrt{3}+5\


木の高さを考慮すると、　　　　　

　5\sqrt{3}+5+1.5

　=5\sqrt{3}+6.5 (m)

 

おわりに

今回は、タンジェントを使って木の高さを測る問題でした。

 

問題文を見て図にするのが難しかったかもしれません。

一度図にできれば、問題の糸口が見つけられるはずです。

 

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