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YutoHisano
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型にはめるだけ！不等式の証明の基本を解説

数学Ⅱ 数学Ⅱ-式と証明

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はじめに

今回は、不等式の証明です。

不等式の証明は、等式の証明同様はめるだけの型があります。

等式の証明とは型が若干異なるので、注意しましょう！

等式の証明の型を復習したい方は、こちらをチェック！

smohisano.hatenablog.jp

不等式の証明の解法

不等式の証明は一般的には以下の方法で証明します。

「 $A\geqq B$ を示したい。」を言い換えると、

$A$ が $B$ より大きいことを示したいということになります。

つまり、 $A-B$ が $0$ 以上であることを示せば良いということになります。

【不等式の証明の一般的な解法】

$A\geqq B$ を示すことは、 $A-B\geqq 0$ を示すことと同義となる。

不等式の証明の中には、根号や絶対値が含まれていて何から手をつければいいのかわからない証明問題も存在します。根号も絶対値も $2$ 乗すると外れてくれるのが特徴なので、以下の解法を使うのがベストです。

【根号（ルート）や絶対値が含まれてる時の解法】

$A \geqq B$ を示すことは、（ $A \geqq 0$ ,　 $B \geqq 0$ のとき）

$A^{2} \geqq B^{2}$ を示すことと同義となる。　 $\cdots(\ast)$

不等式の証明の型

$A\geqq B$ を示したい。

【不等式の証明の型】

$A-B$ $=$ ○○○

　　　 $=$ △△△

　　　 $=$ $■^2$ $\geqq 0$

$\ast$ $■^2$ は $2$ 乗されてるので絶対に正になる。

【根号もしくは絶対値が含まれてる時】

$A^2-B^2$ $=$ ●●●

　　　 $=$ □□□

　　　 $=$ $■^2$ $\geqq 0$

よって、 $A^2\geqq B^2$ となる。

$A\geqq 0$ ,　 $B\geqq 0$ より

$A^2\geqq B^2$ は [A\geqq B] とも表すことができるので、

与式は成り立つ。

以上が型となります。最初はよくわからなくてもこの型にはめれば答案が完成し、それだけでも達成感が得られるはずです。

はじめに
- 不等式の証明の解法
- 不等式の証明の型
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

不等式 $5\sqrt{a}+3\sqrt{b} \geqq \sqrt{25a+9b}$ 　 $(a \geqq 0,b \geqq 0)$

が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つときはどのようなときか。

答案の例

(左辺) $=(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^{2}$

　　　 $=25a+30\sqrt{ab}+9b$

(右辺) $=(\sqrt{25a+9b})^{2}$

　　　 $=25a+9b$

　 $25a+30\sqrt{ab}+9b-(25a+9b)$

$=30\sqrt{ab}$

　 $a\geqq 0$ ,　 $b\geqq 0$ より

$=30\sqrt{ab}$ $\geqq 0$

よって、

　 $(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2\geqq (\sqrt{25a+9b})^2$

また、 $5\sqrt{a}+3\sqrt{b}\geqq 0$ ,　 $\sqrt{25a+9b}\geqq 0$ なので、

$5\sqrt{a}+3\sqrt{b}\geqq \sqrt{25a+9b}$ となり、

与式は成り立つ。

解説

与式の両辺を $2$ 乗しよう。

(左辺) $=(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^{2}$

　　　 $=25a+30\sqrt{ab}+9b$

(右辺) $=(\sqrt{25a+9b})^{2}$

　　　 $=25a+9b$

差を取って、 $\geqq 0$ となることを示したい。

　 $25a+30\sqrt{ab}+9b-(25a+9b)$

$=30\sqrt{ab}$

　 $a\geqq 0$ ,　 $b\geqq 0$ より（問題文に書かれている）

$=30\sqrt{ab}$ $\geqq 0$

よって、

　 $(5\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2\geqq (\sqrt{25a+9b})^2$

また、 $5\sqrt{a}+3\sqrt{b}\geqq 0$ ,　 $\sqrt{25a+9b}\geqq 0$ なので、

公式 $(\ast)$ を踏まえると、

$5\sqrt{a}+3\sqrt{b}\geqq \sqrt{25a+9b}$ となり、

与式は成り立つ。

おわりに

今回は、不等式の証明でした。

等式の証明と同様、難しく感じる人は多いと思います。

まずは、型に当てはめて繰り返し解いてみましょう。

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