三角比の拡張とは？　一つの三角比からもう二つの三角比を求める。

はじめに

今回は、一つの三角比から他の三角比を求める問題です。

単元名が、三角比の拡張と書かれていますが、「拡張」というのはどういうことなのでしょうか？

これまでは、

$\sin\theta$ の $\theta$ の部分が $90°$ を越えることがなかったのですが、

「拡張」されると $\theta$ が $90°$ を越える場合もあるという意味です。

三角比が拡張されると、定義の仕方も変わってきます。

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今回の問題のポイント

Point ①
三角比の相互関係の公式のどれを使うか？を考える。

三角比の相互関係

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ 　 $\cdots①$

$\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ 　　　 $\cdots②$

$\tan^{2} \theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}$ 　 $\cdots③$

Point ②
$1$ つの等式で求められるものは $1$ つです。

つまり、
$1$ つの等式の中に $2$ つのわからない文字が含まれていると求めることはできません。

はじめに
- 今回の問題のポイント
問題
解説
実際の答案
おわりに
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問題

$\sin$ $\theta=\displaystyle\frac{2}{3}$ $(0\leq\theta\leq180°)$ のとき、 $\cos$ $\theta$ と $\tan$ $\theta$ の値を求めよ。

解説

$\sin \theta=\displaystyle\frac{2}{3}$ を公式 ①②③ 全てに代入してみる。

① $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{2}+\cos^{2} \theta=1$

このまま計算すれば $\cos \theta$ が求められる。

② $\displaystyle\frac{3}{2} \times \frac{1}{\cos \theta}=\tan \theta$

このまま計算しても $\cos \theta$ 、 $\tan \theta$ の2つが分かっていないので
現時点ではどちらも求められない。

③は $\sin \theta$ がないので代入できない。

このように全てに代入したことで現状最適な公式は①ということを判断できる。

では、公式①の計算を続けてみよう。

$\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{2}+\cos^{2} \theta=1$

$\displaystyle\frac{4}{9}+\cos^{2} \theta=1$

$\cos^{2} \theta=\displaystyle\frac{5}{9}$

$\cos \theta=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ となる。

　 $(ⅰ)$ $0\leqq\theta\leqq90°$ のとき、 $\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$

　 $(ⅱ)$ $90°\leqq\theta\leqq180°$ のとき、 $\cos \theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$

となるので、場合分けが必要

出てきた場合分けを基に他の公式に再代入しよう。

　 $(ⅰ)$ 　 $0\leqq\theta\leqq90°$ のとき

すなわち　 $\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき

公式②に代入する。

　 $(ⅱ)$ 　 $90°\leqq\theta\leqq180°$ のとき

すなわち、 $\cos \theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき

$(ⅰ)$ と同様にすると、

$\tan \theta=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$

ここまでの解説をもとに実際の答案を見てみましょう。

実際の答案

$\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{2}+\cos^{2} \theta=1$

$\displaystyle\frac{4}{9}+\cos^{2} \theta=1$

$\cos^{2} \theta=\displaystyle\frac{5}{9}$

$\cos \theta=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$

　 $(ⅰ)$ 　 $0\leqq\theta\leqq90°$ のとき

すなわち　 $\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき

$\tan \theta=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より

$\tan \theta=\displaystyle\frac{2}{3} \times \frac{3}{\sqrt{5}}$

$\tan \theta=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$

　 $(ⅱ)$ 　 $90°\leqq\theta\leqq180°$ のとき

すなわち、 $\cos \theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき

$(ⅰ)$ と同様にすると、

$\tan \theta=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$

よって、
$0\leqq\theta\leqq90°$ のとき、 $\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ 、 $\tan \theta=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$

$90°\leqq\theta\leqq180°$ のとき、 $\cos \theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$ 、 $\tan \theta=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$

おわりに

公式に関しては、何も見ずに書けるくらいには覚えていないと問題が解けません。

まだ暗記できていない人は、

最初は公式を見ながらで構わないので問題を解きながら覚えていきましょう。

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