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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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二乗も嫌だし、三角比も嫌い！三角比が含まれた二次不等式の解法

数学Ⅰ 数学Ⅰ-図形と計量

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はじめに

今回は、三角比が含まれた二次不等式の問題です。

$\sin\theta$ ,　 $\cos\theta$ ,　 $\tan\theta$ が含まれていると嫌になる人もいるかもしれないですね。

でも大丈夫です！

順を追って解いていけば答えを導けますのでご安心ください。

解法の手順

＜流れ＞

STEP１　三角比を揃える

STEP２　三角比を文字に置く

STEP３　二次不等式を解く

STEP４　一次不等式を解く

一次三角不等式が不安な方は、こちらをチェック

smohisano.hatenablog.jp

三角比の定義

STEP４　一次不等式を解く

こちらは、三角比の定義が押さえられていないと理解ができないかもしれません。

三角比の定義をチェックしたい方はこちら

www.smohisano.com

はじめに
- 解法の手順
- 三角比の定義
問題
解説
実際の答案
おわりに
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問題

以下の不等式が満たす $\theta$ の範囲を求めよ。

　　　　　 $2\sin^{2} \theta$ $-\cos \theta$ $-1\leqq0$ （ $0 \leqq \theta \leqq 180°$ ）

解説

三角比の種類を揃えるために使用できる公式はこちら

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ 　 $\cdots①$

$\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ 　 $\cdots②$

$\tan^{2} \theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}$ 　 $\cdots③$

今回は、与式に $2\sin^2\theta$ が含まれているので、

公式 $\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ を使用する

$\sin^{2} \theta=1-\cos^{2} \theta$ 　となり、与式に代入すると、

$-2\cos^{2} \theta-\cos \theta+1$ $\leqq0$ となる。

三角比（ $\cos\theta$ ）を文字に置き換える

$−2t^{2}-t+1　\leqq0$

$2t^{2}+t-1　\geqq0$

$(2t−1)(t+1)　\geqq0$

二次不等式を解くと、

$t \leqq−1$ , $\displaystyle\frac{1}{2}\leqq t$

置き換えた文字 $t$ を三角比に戻す

$\cos \theta \leqq−1$ , $\displaystyle\frac{1}{2}\leqq \cos \theta$

図

f:id:smohisano:20210829175120p:plain

$0 \leqq \theta \leqq 180°$ より $-1 \leqq \cos \theta \leqq 1$ なので、

$\cos \theta \leqq−1$ は、 $\cos \theta=−1$ となる。

$\ast$ $\cos\theta$ は、 $-1$ より小さい数字にならない。

よって、

$\theta=180°$ , $0 \leqq \theta \leqq 60°$

実際の答案

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ より

$\sin^{2} \theta=1-\cos^{2} \theta$ となるので、

（与式） $=2\sin^{2} \theta-\cos \theta−1$

　　　 $=2(1-\cos^{2}\theta)-\cos \theta-1$

　　　 $=-2\cos^{2} \theta-\cos \theta+1$ 　 $\leqq0$

$\cos \theta=t$ と置くと、

　　　 $−2t^{2}-t+1　\leqq0$

　　　 $2t^{2}+t-1　\geqq0$

　　　 $(2t−1)(t+1)　\geqq0$

　 $t \leqq−1$ , $\displaystyle\frac{1}{2}\leqq t$

$\cos \theta \leqq−1$ , $\displaystyle\frac{1}{2}\leqq \cos \theta$

よって、

$\theta=180°$ , $0 \leqq \theta \leqq 60°$

おわりに

今回は、三角比が含まれた二次不等式の問題でした。

今回の問題が難しく感じた人は、

三角比の定義もしくは、三角比が含まれた一次不等式が理解できていない可能性があります。

三角比の定義についてはこちら

www.smohisano.com

三角比が含まれた一次不等式はこちら

www.smohisano.com

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