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途中式を飛ばさない数学ブログ

【不等式の領域】x + y の最大値・最小値を求める

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本日の問題

【問題】

x,y2 つの不等式 x^{2}+y^{2} \leqq 10, y \geqq -2x+5 を満たすとき、x+y の最大値および最小値を求めよ。

 

 

つまずきポイント

2 次関数の最小値なら、放物線を描いて、一番低いところを…

とイメージがつきますが、

x+y の最大・最小と言われてもピンとこないですね。

 

今回の問題のポイント

x+y=k と置き、

y=-x+k と式変更すると、

 

「不等式の領域を満たすとき x+y の最大値・最小値を求めよ。」を

「不等式の領域を満たすとき y=-x+k の切片 k の最大値・最小値を求めよ。」

と言い換えることができる。 

 

解説

x^{2}+y^{2} \leqq 10 \cdots

f:id:smohisano:20210726172450p:plain



y \geqq -2x+5 \cdots

f:id:smohisano:20210726133200p:plain

よって、①と②の共通部分は、

f:id:smohisano:20210726133309p:plain

この領域の中で、x+y の最小値・最大値を求める。

 

x+y=k とおく

y=-x+k と変形すると、

 

x+y の最小値・最大値を求めよ。」を言い換えると、

y=-x+k の切片 k の最小値・最大値を求めよ。」となる。

 

この領域内に含まれるように、直線 y=-x+k を動かす。

 

切片k が最小値になる部分を探す。

f:id:smohisano:20210726133737p:plain

直線 ①〜③ の中で切片が最小値になるのは、③となる。

直線 y=-2x+5と円 x^2+y^2=10の交点について、

x^2+(-2x+5)^2=10

5x^2-20x+15=0

x^2-4x+3=0

(x-3)(x-1)=0

x=3, x=1

よって、

x=3 のとき y=-1

x=1 のとき y=3

となる。

 

したがって、

直線 ③ の通る点は、x=3, y=-1 なので、

x+y=k に代入して、k=3+(-1)=2 が最小値

 

同様にして、

直線 ①〜③ の中で切片が最小値になるのは、①となる。

直線① の通る点は、x=1, y=3 なので、

x+y=k に代入して、k=1+3=4 が最大値

 

改めてまとめると、

x=3, y=-1 の時、最小値 2

x=1, y=3 の時、最大値 4

 

おわりに 

計算も解法も難しい問題でした。

重要なのは、x+y=k のように、k と置いてしまう。という点です。

 

 

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