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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【三角関数】サインの２倍角の公式を用いた三角方程式

数学Ⅱ 数学Ⅱ-三角関数

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本日の問題

【問題】

$-1 \leqq \theta \leqq 1$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin 2\theta =\cos \theta$

本日の問題
つまずきポイント
- 2 倍角の公式
- 方程式の計算
解説
おわりに

つまずきポイント

必要な技能

①　 $2$ 倍角の公式が使える

②　方程式の計算ができる

2 倍角の公式

$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta=1-2\sin^{2} \theta =2\cos^{2} \theta −1$

$\tan 2\theta=\displaystyle\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$

方程式の計算

$(x-a)(x-b)=0$ のとき

$x-a=0$ または $x-b=0$

$x=a$ , $x=b$

解説

$2$ 倍角の公式より

$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$

となるので、

$\sin 2\theta =\cos \theta$ （与式）

$2\sin \theta \cos \theta =\cos \theta$

ゆえに、

$\cos \theta(2\sin \theta−1)=0$

よって、

$\cos \theta=0$ または $2\sin \theta -1=0$ より

$\cos \theta=0$ または $\sin \theta=\displaystyle\frac{1}{2}$ となる。

$(i)$ $\cos \theta=0$ より $\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi$

$(ii)$ $\sin \theta=\displaystyle\frac{1}{2}$ より $\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6},\frac{5}{6}\pi$

$(i)$ , $(ii)$ より

$\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ , $\displaystyle\frac{5}{6}\pi,\frac{3}{2}\pi$

おわりに

改めてポイントは、 $2$ 倍角の公式と方程式の解き方です。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7