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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【三角関数】サインコサインを含んだ関数の最大値・最小値

数学Ⅱ 数学Ⅱ-三角関数

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本日の問題

【問題】

$y=4\sin^{2} \theta -4\cos \theta +1$ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

本日の問題
つまずきポイント
- 三角比の公式
- 二次関数の最大最小の求め方
解説
おわりに

つまずきポイント

この問題を解くためには、 $2$ つの技能が必要になります。

①　三角比の相互関係を使える

②　二次関数の最大最小を求められる

三角比の公式

三角比の相互関係

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ 　 $\cdots①$

$\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$ 　 $\cdots②$

$\tan^{2} \theta+1=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}$ 　 $\cdots③$

二次関数の最大最小の求め方

二次関数の最大値・最小値は、グラフを描ければ容易に解くことができます。

詳しい説明はこちらをチェック

smohisano.hatenablog.jp

解説

$\sin^{2} \theta=1-\cos^{2} \theta$ より　（三角比の相互関係 ① を使用）

$y=4\sin^{2} \theta -4\cos \theta +1$

$=4(1-\cos^{2} \theta) -4\cos \theta +1$

$=-4\cos^{2} \theta -4\cos \theta +5$

$\cos \theta=t$ とおくと、

$y=-4t^2-4t+5$

$=-4(t^2+t)+5$

$=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-(-4)\times \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+5$

$=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6$

頂点 $\left(-\displaystyle\frac{1}{2},6 \right)$

また、 $t$ の範囲は、

$\cos \theta=t$ より

$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ は、 $-1 \leqq t \leqq 1$ となる。

よって、

$=-4\left(t+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+6$ 　 $(-1 \leqq t \leqq 1)$

の最大値・最小値を求めれば良い。

f:id:smohisano:20210727113539p:plain

グラフより、

$t=-\displaystyle\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $6$

$t=1$ のとき、最小値 $-3$

$\cos \theta=t$ より $t=-\displaystyle\frac{1}{2}$ を代入すると、

$\cos \theta=-\displaystyle\frac{1}{2}$ となり、したがって、

$\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi$

同様にして、 $t=1$ を代入すると、

$\cos \theta=1$ となり、したがって、

$\theta=0$

以上のことを踏まえると、

$\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi$ のとき、最大値 $6$

$\theta=0$ のとき、最小値 $-3$

おわりに

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7