【積分法】定積分が含まれた関数について『積分部分を文字に置く』

【問題】

次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x)=6x^{2}-x+\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt$

式の中に定積分が含まれているところが難しいところでしょう。

今回の問題はパターンとして、解法を覚えてしまうのが良いです。

変に仕組みを理解するために時間をかけすぎないようにしましょう。

定積分部分を丸々文字に置いてしまう。

$f(x)=6x^{2}-x+$ $\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt$

$\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)dt$ $=A$ とおく

$\displaystyle\int_{-1}^1 f(t) dt=A$ $\cdots$ $\ast$ とおくと、

$f(x)=6x^2-x+A$

$f(t)=6t^2-t+A$ を $\ast$ に代入すると、

$\displaystyle\int_{-1}^1 (6t^2-t+A) dt$

$=\left[2t^3-\dfrac{1}{2}t^2+At \right]_{-1}^1$

$=\left(2\times 1^3-\dfrac{1}{2}\times 1^2+A\times 1 \right)-\left(2\times (-1)^3-\dfrac{1}{2}\times (-1)^2+A\times (-1) \right)$

$=\left(2-\dfrac{1}{2}+A\right)-\left(-2-\dfrac{1}{2}-A \right)$

$=4+2A$ $=A$

よって、

$A=-4$

したがって、

$f(x)=6x^2-x-4$

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

Math Kit