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【対数関数】ログが含まれた方程式の解き方

数学Ⅱ 数学Ⅱ-対数関数
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本日の問題

【問題】
次の方程式を解け。
\log_3 x + \log_3 (x-2) =1



つまずきポイント

対数独自の公式が複雑で大変なところです。
しっかりと公式を覚えて、最初は公式を見ながらで良いのでしっかりと式変形できるよう解き進めましょう。

今回の問題のポイント

公式①

実数を対数で表す

p=p\log_a a
\ast（実数を対数で表したい時に便利）
\ast log_a a=1

公式②

両辺の対数の底が揃っている場合、両辺の対数を外すことができる。

\log_a p = \log_a q のとき、p=qとなる。（a は 底、p,\,q は真数と呼ぶ。）

公式③

底が揃っている対数の足し算は、真数を掛け算してまとめられる。

\log_a M + \log_a N=\log_a MN

解説

\log_3 x + \log_3 (x-2) =1

真数条件より、

x \geqq 0, x-2\geqq 0
x \geqq 0, x\geqq 2

よって、

x \geqq 2 \cdots \ast

\begin{align} \log_3 x + \log_3 (x-2) &=1\\ \log_{3} \{x \times (x-2) \} &=\log_3 3\\ \log_3 (x^2-2x) &=\log_3 3\\ \end{align}

したがって、

\begin{align} x^2-2x &=3\\ x^2-2x-3 &=0\\ (x-3)(x+1) &=0\\ x&=3, -1\\ x &\geqq 2 より、\\ x&=3\\ \end{align}


おわりに

対数独特の公式を覚えることは当然ですが、実際に使えるように演習を重ねましょう。


ただ、公式を無理して覚えようとしなくても良いです。
公式を眺めながら解くということを繰り返せば、自ずと覚えられます。


もっと詳しく教えてほしいという方は、
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いつでもお待ちしております。


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