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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【指数関数】指数を二次関数に変換する

数学Ⅱ 数学Ⅱ-指数関数

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本日の問題

【問題】

関数 $y=4^{x+1}-2^{x+2}+2$ $(x \leqq 2)$ の最大値と最小値を求めよ。

本日の問題
つまずきポイント
- 指数法則
解説
おわりに

つまずきポイント

指数を二次関数に変換するためには、指数法則が必要になる。

指数法則は、ややこしい法則が多いので暗記しきれていない人も多いですね。

最初は、見ながらで良いので解き進めていきましょう。

指数法則

指数法則

$a \neq 0$ , $b \neq 0$ で、 $m$ , $n$ が整数のとき

1. $a^m a^n=a^{m+n}$ 　　1'. $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

2. $(a^m)^n=a^{mn}$ 　　 3. $(ab)^n=a^n b^n$

3'. $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

解説

$y=4^{x+1}-2^{x+2}+2$

$=4^x \times 4^1-2^x \times 2^2+2$

$=2^{2x} \times 4-2^x \times 4+2$

$=4 \times (2^x)^2 -4 \times 2^x+2$

ここで、 $t=2^x$ とおくと、式と定義域が変わる。

$t=2^x$ （ $x \leqq 2$ ）のグラフを描いてみると、

f:id:smohisano:20210803132543p:plain

$x\leqq 2$ なので、図より

$0＜ t \leqq 4$ となる。（文字が変換された際には、必ず必要となる作業です。）

$y=4t^2 -4t+2$

$=4(t^2-t)+2$

$=4\left\{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right\}+2$

$=4\left\{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right\}+2$

$=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-4\times\dfrac{1}{4}+2$

$=4\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+1$ （ $0＜ t \leqq 4$ ）

頂点 $\left(\, \dfrac{1}{2},\, 1\, \right)$

f:id:smohisano:20210803135020p:plain

グラフより、

$t=\dfrac{1}{2}$ のとき最小値 $1$

$t=4$ のとき最大値 $50$

↑計算すると、

$y=4t^2-4t+2$ より

$=4\times 4^2-4\times 4 +2$

$=4\times 16-16+2$

$=64-16+2$

$=50$

$t=\dfrac{1}{2}$ のとき $t=2^x$ より

$\dfrac{1}{2}=2^x$

$2^{-1}=2^x$

$x=-1$

$t=4$ のとき $t=2^x$ より

$4=2^x$

$2^2=2^x$

$x=2$

よって、

$x=-1$ のとき最小値 $1$

$x=2$ のとき最大値 $50$

おわりに

ざっくりと手順を言うと、

①　別の文字で置き換える

②　定義域も変換する

③　グラフを描く

④　グラフを見ながら、最大・最小を求める。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

相談フォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7