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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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等差数列の一般項と和の一般項

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問題

次の問いに答えなさい。

(1)　数列 $1$ ,　 $4$ ,　 $7$ ,　 $\cdots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2)　数列 $1$ ,　 $4$ ,　 $7$ ,　 $\cdots$ ,　 $97$ の和 $S$ を求めよ。

(3)　初項 $200$ ,　公差 $-5$ の等差数列の初項から第 $100$ 項までの和 $S$ を求めよ。

問題
つまずきポイント
- 等差数列の一般項の公式
- 等差数列の和の公式
解説
おわりに
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つまずきポイント

今回の問題は、等差数列の一般項と和の一般項の問題です。

公式を覚えられていれば、そこまで難しい問題ではないかと思います。

和の一般項の公式は $2$ つあり、状況に応じて使い分ける必要があります。

どちらの公式を使用するかは問いの条件をよく見ましょう。

等差数列の一般項の公式

$a$ ：初項,　 $n$ ：項数,　 $d$ ：公差

　 $a_n=a+(n-1)d$

等差数列の和の公式

$n$ ：項数,　 $a$ ：初項,　 $l$ ：末項,

$d$ ：公差

　 $S_n=\dfrac{1}{2}n\,(a+l)$ $\cdots$ ①

　 $S_n=\dfrac{1}{2}n \left\{ 2a+(n-1)d \right\}$ $\cdots$ ②

末項がわかっていたら、①

公差がわかっていたら、②

この $2$ つの見た目は違いますが、実は①を少し変形したものが②になります。

これらを別々の公式として覚える必要は本来はないです。

今回は最初ということで、あえてこれらを効率よく使って問題を解いていきます。

解説

(1)

$a_n=a+(n-1)d$ より

初項： $a=1$

公差： $d=3$

よって、

$a_n=1+(n-1)\times 3$

　 $=1+3n-3$

　 $=3n-2$

(2)

(1) より $a_n=3n-2$ なので、

$a_n=97$ のときの $n$ 求める。

$97=3n-2$

$-3n=-99$

$n=33$ $\cdots$ $\ast$

$S_n=\dfrac{1}{2} n(a+l)$ より

初項： $a=1$

末項： $l=97$

項数： $\ast$ より $n=33$

よって、

$S_{33}=\dfrac{1}{2}\times 33(1+97)$

　 $=\dfrac{1}{2}\times 33\times 98$

　 $=33\times 49$

　 $=1617$

(3)

「初項から第 $100$ 項まで」より項数は、 $100$

$\ast$ 「公差が $-5$ 」と分かっているので、②の公式を使用する。

$S_n=\dfrac{1}{2}n \left\{ 2a+(n-1)d \right\}$ より

項数： $n=100$

初項： $a=200$

公差： $d=-5$

$S_{100}=\dfrac{1}{2}\times 100 \left\{ 2\times 200+(100-1)\times (-5) \right\}$

$=50(400-500+5)$

$=50\times (-95)$

$=-4750$

おわりに

今回は、等差数列の一般項と和の一般項でした。

公式を覚えることはもちろんですが、

和の一般項が $2$ 種類あるので、それぞれの使うタイミングを押さえておきましょう。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

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