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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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複雑な公式はどう覚える？複雑な公式代表二項定理の覚え方

数学Ⅱ 数学Ⅱ-式と証明

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はじめに

今回は、二項定理の計算問題です。

みなさん以下の式を展開することはできますか？

$(a+b)^2$ ,　 $(a+b)^3$

これには公式がありますね。公式を忘れてしまった場合でも、

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$

$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$

と書き換えて、分配法則によって計算することができます。

では、 $(a+b)^{10}$ はどう計算しますか？

もちろん、 $(a+b)^{10}=(a+b)(a+b)(a+b)\cdots$

と計算しますか $\dots$ ?

できないことはないですけど、かなり大変ですよね？

そんな時に使用するのが、二項定理です。

二項定理

二項定理

$(a+b)^{n}={}_n C_0 a^{n}b^{0}+{}_n C_1 a^{n-1}b^{1}+{}_n C_2 a^{n-1}b^{2} \cdots +{}_n C_n a^{n-n}b^{n}$ $\cdots　(※)$

二項定理の覚え方

公式内に出てくる $a$ ,　 $b$ の指数の増え方を見ると覚えやすくなります。

組み合わせの部分（ $C$ の部分）

　 ${}_n C_0 \rightarrow {}_n C_1 \rightarrow {}_n C_2 \cdots$

　　☆数字のところが増えていますね！

$a$ の部分

　 $a^{n} \rightarrow a^{n-1} \rightarrow a^{n-2} \cdots$

　　☆指数が $1$ つずつ減っている！

$b$ の部分

　 $b^{0} \rightarrow b^{1} \rightarrow b^{2} \cdots$

　　☆指数が $1$ つずつ増えている！

はじめに
- 二項定理
- 二項定理の覚え方
問題
答案の例
解説
おわりに
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問題

$(2x-3)^{5}$ の展開式を求めよ。

答案の例

$(2x-3)^{5}={}_5 C_0 ･(2x)^{5}･(-3^{0}) + {}_5 C_1 ･(2x)^{4}･(-3)^{1}$

　　　　　　 $+{}_5 C_2･(2x)^{3}･(-3)^{2} + {}_5 C_3 ･(2x)^{2}･(-3)^{3}$

　　　　　　 $+{}_5 C_4･(2x)^{1}･(-3)^{4} + {}_5 C_5 ･(2x)^{0}･(-3)^{5}$

　　　　　 $=1\cdot 32x^5\cdot 1+5\cdot 16x^4\cdot (-3)$

　　　　　　 $+10\cdot 8x^3\cdot 9+10\cdot 4x^2\cdot (-27)$

　　　　　　 $+5\cdot 2x\cdot 81+1\cdot 1\cdot (-243)$

　　　　　 $=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$

解説

複雑な公式を扱うときは、

公式の１つ１つの文字が問題の何に当たるのかを確認しながら解いてみましょう。

今回の公式だと、文字は $a$ ,　 $b$ ,　 $n$ ですね。

$a=2x$

$b=-3$

$n=5$ となる。

公式に代入する。

$(a+b)^{n}={}_n C_0 a^{n}b^{0}+{}_n C_1 a^{n-1}b^{1}+{}_n C_2 a^{n-1}b^{2} \cdots +{}_n C_n a^{n-n}b^{n}$

$(2x-3)^{5}={}_5 C_0 ･(2x)^{5}･(-3^{0}) + {}_5 C_1 ･(2x)^{4}･(-3)^{1}$

　　　　　　 $+{}_5 C_2･(2x)^{3}･(-3)^{2} + {}_5 C_3 ･(2x)^{2}･(-3)^{3}$

　　　　　　 $+{}_5 C_4･(2x)^{1}･(-3)^{4} + {}_5 C_5 ･(2x)^{0}･(-3)^{5}$

　　　　　 $=1\cdot 32x^5\cdot 1+5\cdot 16x^4\cdot (-3)$

　　　　　　 $+10\cdot 8x^3\cdot 9+10\cdot 4x^2\cdot (-27)$

　　　　　　 $+5\cdot 2x\cdot 81+1\cdot 1\cdot (-243)$

　　　　　 $=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$

おわりに

今回は、二項定理の計算問題でした。

記事の問題に対して質問がある方はいつでもご連絡ください。

また、オンラインで家庭教師も可能です。

詳しくは下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

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