【対数関数】底はどれにすれば良い？底の変換公式をを利用した計算

【問題】

次の式を簡単にせよ。

$(\log_2 9+\log_4 3)\log_3 4$

底の変換公式

$\log_a b =\displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}$

$(\log_2 9+\log_4 3)\log_3 4$

今回の問題は、底をどれに合わせれば良いのか？

候補は、 $2$ , $4$ , $3$ があるが、基本的にどれに合わせても答えは導かれる。

しかし、一番数字が小さいものを底にすれば計算が楽になるでしょう。

$\log_4 3$ について

$\log_4 3=\displaystyle\frac{\log_2 3}{\log_2 4}$

$=\displaystyle\frac{\log_2 3}{2}$

$\log_3 4$ について

$\log_3 4=\displaystyle\frac{\log_2 4}{\log_2 3}$

$=\displaystyle\frac{2}{\log_2 3}$

変換したものを与式に当てはめると、

$(\log_2 9+\log_4 3)\log_3 4$

$=\left(\log_2 9+\dfrac{\log_2 3}{2}\right)\dfrac{2}{\log_2 3}$

$=2\log_2 3\times \dfrac{2}{\log_2 3}+\dfrac{\log_2 3}{2}\times\dfrac{2}{\log_2 3}$

$=4$

対数では、対数独特な公式が複数存在する。

そのため、どのタイミングでどの公式を使えるのかということを見極める必要がある。

そのような見極めの目は演習によって身についていくので、これを機会に類題に取り組みましょう。

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