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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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【対数関数】ログの大きさの比べ方とは？

数学Ⅱ 数学Ⅱ-対数関数

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本日の問題

【問題】

次の数の大小を不等号を用いて表せ。

$1.5$ , $\log_3 5$

本日の問題
つまずきポイント
- 今回の問題のポイント
- 対数の公式
解説
おわりに

つまずきポイント

片方の数字は、対数（ $\log$ ）が付いているが、

もう片方の数字は、対数（ $\log$ ）が付いていないため、

このままの形だと大小を比べることができない。

今回の問題のポイント

Point

同じ土俵に立たせてあげる。

今回の問題は、

$1.5$ は小数

$\log_3 5$ は対数

このように、それぞれが異なる形であるため大小を比べることができない。

よって、小数または対数どちらかに形を合わせる必要がある。

どちらに合わせた方が良いのかは、問題によるので演習を重ねましょう。

対数の公式

$a＞0$ , $a\not=1$ , $M＞0$ のとき、

　 $p=p$ $\log_a a$

　 $k$ $\log_a M=\log_a M^k$

解説

$1.5$ $=\dfrac{3}{2} \log_3 3$

　　 $=\log_3 3^{\frac{3}{2}}$

　　 $=\log_3 (3^{1} \times 3^{\frac{1}{2})}$

　　 $=log_3 {(3^{1} \times \sqrt{3})}$

ここで、

$\sqrt{3}=1.73\dots$

なので、

$=\log_3 {(3 \times 1.73)}$

$=\log_3 5.19$ （おおよその値）

よって、

$\log_3 5.19$ と $\log_3 5$ の大小を比べる。

どちらも底が $3$ の対数なので、真数（ $5.19$ と $5$ のこと）で比べれば良い。

したがって、

$\log_3 5$ ＜ $\log_3 5.9$

$\log_3 5$ ＜ $1.5$

おわりに

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7