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YutoHisano
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ベクトルを座標で表す！ベクトルを成分表示させる問題

数学B 数学B-平面ベクトル

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問題

$\overrightarrow{a}=(2,$ 　 $1)$ ,　 $\overrightarrow{b}=(3,$ 　 $4)$ に対して、 $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求めよ。

問題
つまずきポイント
- ベクトルの成分表示
- 使用する公式
解説
おわりに
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つまずきポイント

ベクトルは、座標で表すことによって座標平面上で扱うことができます。

ベクトルの成分表示

ベクトルは、座標平面上で $\overrightarrow{a}=(x_1,$ 　 $y_1)$ のように表されます。

このように、座標で表すことをベクトルの成分表示と言います。

例）

$\overrightarrow{a}=(3,$ 　 $4)$

f:id:smohisano:20210818094648p:plain

使用する公式

ベクトルが成分表示されているときのベクトルの大きさ

$\overrightarrow{a}=(a_1,$ 　 $a_2)$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

$|\overrightarrow{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2$

例）

$\overrightarrow{a}=(3,$ 　 $4)$ の大きさを求めよ。

図のように、 $\triangle{OAB}$ に対して、三平方の定理を用いる。

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2}$

　　 $=\sqrt{25}$

　　 $=5$

f:id:smohisano:20210818165852p:plain

ベクトルが成分表示されているときの内積の求め方

$\overrightarrow{a}=(a_1,$ 　 $a_2)$ ,　 $\overrightarrow{b}=(b_1,$ 　 $b_2)$ のとき、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=a_1\times b_1+a_2\times b_2$

解説

　 $\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=(2,$ 　 $1)+$ $t(3,$ 　 $4)$

$=(2+3t,$ 　 $1+4t)$ から

　 $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2$

$=(2+3t)^2+(1+4t)^2$

$=4+12t+9t^2+1+8t+16t^2$

$=25t^2+20t+5$

$=25\left(t^2+\dfrac{4}{5}\right)+5$ （平方完成をする）

$=25\left\{ \left(t^2+\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right\}+5$

$=25\left(t^2+\dfrac{2}{5}\right)-25\times\dfrac{4}{25}+5$

$=25\left(t+\dfrac{2}{5}\right)^2+1$

f:id:smohisano:20210818180614p:plain

グラフより

よって、 $t=-\dfrac{2}{5}$ のとき、最小値 $1$

（別解） $\ast$ 計算が少し大変です。

　 $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2$

$=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2 t^2$

ここで、

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2^2+ 1^2}=\sqrt{5}$

$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+ 4^2}=\sqrt{25}=5$

また、

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times 3+1\times 4=10$

よって、

　 $|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2 t^2$

$=\sqrt{5}^2+2t\times 10+5^2 \cdot t^2$

$=25t^2+20t+5$

$=25\left(t^2+\dfrac{4}{5}\right)+5$ （平方完成をする）

$=25\left\{ \left(t^2+\dfrac{2}{5}\right)-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right\}+5$

$=25\left(t^2+\dfrac{2}{5}\right)-25\times\dfrac{4}{25}+5$

$=25\left(t^2+\dfrac{2}{5}\right)+1$

f:id:smohisano:20210818180614p:plain

グラフより

よって、 $t=-\dfrac{2}{5}$ のとき、最小値 $1$

おわりに

今回は、ベクトルを成分表示させる問題でした。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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