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途中式を飛ばさない数学ブログ

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YutoHisano
高校数学を途中式を飛ばさずに解説します。それと、ちょっとした休憩時間に読める数学の面白い小話も載せていきます。

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絶対値がついたら２乗！ベクトルの大きさの最小値問題

数学B 数学B-平面ベクトル

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問題

ベクトル $\overrightarrow{a}$ ,　 $\overrightarrow{b}$ について $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$ ,　 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ ,　 $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$ であるとき

(1)　内積 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。

(2)　ベクトル $|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$ の大きさを求めよ。

(3)　ベクトル $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ の大きさが最小となるように実数 $t$ の値を定め、そのときの最小値を求めよ。

つまずきポイント

今回は、ベクトルの大きさの最小値問題です。

ベクトルの大きさが与えられているときの解法を覚えていないと、

手も足も出ない問題かもしれません。

今回の問題のポイント

ベクトルの大きさが与えられていたら２乗しましょう。

問いの中にあるこちらの式は、このままだとなにも計算ができません。

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$

両辺を２乗することによって、

$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}$ の値を求めることができ、(2) にも繋がります。

二次関数の最小値問題

(3)では、(2)と同様に計算をし、

式を整理することができたら二次関数の最小値を求めなければいけません。

二次関数の最小値問題が不安な方はこちらをチェックしてみてください。

www.smohisano.com

解説

(1)

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=(\sqrt{5})^2$

$|\overrightarrow{a}|^2-2\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2=5$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$ ,　 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ より

$(\sqrt{3})^2-2\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}+(\sqrt{2})^2=5$

$3-2\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}+2=5$

　　 $-2\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0$

　　　 $\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b}=0$ $\cdots$ $\ast$

(2)

　 $|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|^2$

$=2^2|\overrightarrow{a}|^2-12\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+3^2|\overrightarrow{b}|^2$

　 $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$ ,　 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と (1) の $\ast$ より

$=4 (\sqrt{3})^2-12 \cdot 0+9(\sqrt{2})^2$

$=4\cdot 3+9\cdot 2$

$=30$

よって、

$|2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|=\sqrt{30}$

（最初に $2$ 乗していることを忘れずに）

(3)

　 $|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|^2$

$=|\overrightarrow{a}|^2+2t\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} +t^2 |\overrightarrow{b}|^2$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$ ,　 $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$ と (1) の $\ast$ より

$=3+2t^2$

$=2t^2+3$

頂点 $(0,$ 　 $3)$

よって、

$t=0$ のとき最小値 $\sqrt{3}$

おわりに

今回は、ベクトルの大きさの最小値問題でした。

ベクトルの基本知識はもちろんのこと、二次関数の最小値問題の解法も覚えている必要があります。

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の問い合わせフォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7

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