群数列の基本がこれに詰まってる!奇数の列を群数列で並べるときの数列の問題
はじめに
今回は、奇数の列を群数列で並べたときの数列の問題です。
この範囲には、特に特有の公式はありません。
今までの等差、等比、階差、シグマなどの知識を活用して解いていく、
いわばちょっとした応用問題となります。
しかし、応用問題というのは、大抵の場合解き方が複数通り存在しています。
多くのアプローチの方法を知っておくことは、様々な応用問題を解く際に
とても役に立ちます。
今回の問題でも、複数通りの解き方を紹介するので、
色々な方法を考察していきましょう。
理解できない解き方ももちろんあるかと思いますので、
そういった場合は、理解できるものから確実に身に着けていきましょう。
群数列とは?
まず、群数列とは何か、というところからスタートしましょう。
以下の数列を使って考えていきます。
この数列は、正の整数が並んでいるだけに見えるかもしれませんが、よく見ると、
が つ
が つ
が つ
が つ
のように並んでいるのがわかるかと思います。
そこで、次のように数列を区切って見てみます。
このようにして見ると、規則性が分かりやすいですね。
数列を上記のように区切って考えたとき、
(最初のかたまり)を第 群
( つ目のかたまり)を第 群
( つ目のかたまり)を第 群
( つ目のかたまり)を第 群
のように表現します。
このように、数列 をある規則に従っていくつかの群に分けて考えるとき、
これを群数列と言います。
では、この群数列について、具体的な問題を見ていきましょう。
問題
奇数の列(奇数列)を
のように、第 群が 個の数を含むように分けるとき、
()第 群の最初の奇数を求めなさい。
()第 群の総和を求めなさい。
答案の例
()
各群の最初の奇数は階差数列になっている。
各群の最初の奇数を並べた数列を 、そこから得られた階差数列を とすると、
よって、
(のときも成り立つ)
※解説の解き方の②を使用
()
第 群の初項は()により、
第 群の末項は、第 群の初項から を引けばいいため、
さらに項数は であるため、
※解説の解き方の②を使用
解説
()
<解き方①:第 群までに奇数が何個使われているのかを考える>
まず、いきなり第 群について考えると混乱してしまう可能性があるので、
例えば「第 群の最初の奇数」から考えて、イメージを掴んでいきましょう。
第 群の最初の奇数は、問題で与えられている通り、 ですね。
これは奇数列で考えると 番目の奇数となります。
( という列の 番目が になっていますね)
では、この 番目という番号は、どのように求めているのでしょうか?
今回の例では見ただけですぐにわかりますが、第 群について今後
考えていくことを考慮し、規則性を見つけていきます。
第 群の最初の奇数を知りたい場合は、第 群までに奇数が
何個使われているかを考えます。
つまり、 の 個です。
第 群までに奇数が 個あるのであれば、第 群の最初の奇数
は、それに を加えた 番目の奇数ということになりますね。
同様に、例えば第 群までには 個の奇数が使われていますので、
第 群の最初の奇数であれば、それに を加えた 番目の奇数
を求めればいいということになります。
これらのことをまとめると、ある群の最初の数が何番目なのかを知りたい場合は、
つ手前までの群で使われている数の合計に をすればいい
ということになります。
さて、では今回の問題である、「第 群の最初の奇数」が奇数列での何番目
なのかを知りたい場合は、どう考えればよいのでしょうか?
第 群の つ手前の群とは、第 群ということになります。
まずはこの群までにいくつ奇数が使われているかを考えるのです。
第 群には奇数は 個、
第 群には奇数は 個、
第 群には奇数は 個、
第 群には奇数は 個
使われていますので、それらの合計は、
となります。
項数が であれば、 でしたが、今回は項数が
なので、この式の の部分が となり、
となります。これが第 群までに使われている奇数の合計なので、
第 群の最初の奇数は、奇数列での
番目の数ということになります。
また今回、奇数は からスタートしていますので、
一般的な奇数の表し方は となります。
とすると、 (初項)のときに が出てきてしまいますね。
この というのは、 番目の奇数を表しています。
よって、 番目の奇数を知りたいのであれば、
の部分に を代入し、
という結果となります。これが、第 群の最初の奇数となります。
<解き方②:各群の最初の数を見て、規則性を見つける>
解き方①では、 つ前までの群に何個の奇数が使われているかを数えました。
しかし、第 群の最初の奇数を知りたいだけなのであれば、
各群の最初の奇数だけに焦点を絞り、それらの規則性がわかれば
第 群の最初の奇数はすぐにわかるはずです。
各群の最初の奇数は、以下のようになっています。
第 群の最初の奇数
第 群の最初の奇数
第 群の最初の奇数
第 群の最初の奇数
これらの数の規則性を考えると、
から へは
から へは
から へは
となっており、同じ数だけ足されているわけではありませんが、
足されている数である 、 、 には、
ずつされているという規則性があります。
このように、足されている数(もしくはかけられている数)を新たな数の列
とみなす場合、これを階差数列と呼びました。
今回、
という階差数列には、初項が 、公差が の等差数列になっている
という特徴があるので、 等差数列の公式により、
となります。よって、この階差数列を使ったもとの数列の一般項は、
※ の公式において、項数が になって
いるため、結果の の の部分に
を代入した式となっています。
となります。
これは、 のときに成り立つ式なので、 のときに
成り立つかどうかを確かめなければなりません。
のとき、
なので、第 群の最初の数である と一致していますね。
これにより、 のときも成り立つことがわかります。
そしてこの一般項は、各群の最初の数をとって数列を作っていたので、
第 項である が、第 群の最初の奇数という
ことになるわけです。
()
<解き方①:第 群までの和から、第 群までの和を引く>
例えば、 までで考えたとき、 から までの和を知りたい
場合、
( から までの和)ー( から までの和)
を考えれば、答えを導くことができますよね。
これと同じことを行っていきます。
つまり、まずは最初の奇数である から第 群の最後の数までの和
を計算します。
次に、 から第 群の最後の数までの和を計算します。
これらを引くことで、第 群のかたまりのみの和を求めることができるわけです。
では、実際にやっていきます。
第 群の最後の数は、第 群の最初の数から を引けばいい。
※奇数の列について考えているので、 つ手前の数は を引く
第 群の最初の数は、()の答えの の部分に を代入すればいいので、
となります。
さらに、この数から を引き、
という式が、第 群の最後の数となる。
足し合わせる数列の初項と末項が分かったので、和の公式を使うためには、
あとは項数が必要ですね。
項数は、第 群までに奇数がいくつ出てきているかを考えればいい。
各群にはそれぞれ、 個、 個、 個、 、 個
だけ奇数が含まれていますので、それらの合計は、
ということになる。よって、これらの情報を和の公式に当てはめ、
項数 初項 末項
①
※あとで整理するため、計算をここで止めておきます。
次に、第 群までの合計を計算します。
第 群の最後の数は、第 群の最初の数から を引けばいい。
第 群の最初の数は()で求めたため、その答えから 引き、
となります。
項数については、 個までの合計なので、
ということになる。つまり、第 群までの和は、
項数 初項 末項
②
最後に、①から②の式を引き、
※ でくくった
※ を展開した
※ を展開した
※中かっこの中を整理した
<解き方②:第 群の中だけで初項と末項を考えて和を計算する>
第 群の総和を聞かれているので、純粋に第 群の中の数を
すべて足し合わせるだけでもいいはずですね。
第 群の初項は()により、
第 群の末項は<解き方①>により、
項数は、第 群の中の数だけを数えるため、 個となります。
これにより、
※かっこの中を整理した
おわりに
今回は、奇数の列を群数列で並べたときの数列の問題でした。
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