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【図形と方程式】円の弦の長さ

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本日の問題

【問題】　

直線 y=x+2 が円 x^{2}+y^{2}=5 によって切り取られる弦の長さを求めよ。

 

 

つまずきポイント

今回の問題には難しいポイントは２つあります。

難しいポイント①

図を描く

⇨図を描くためには、直線と円のグラフを描くことができることが前提である。

難しいポイント②

 点と直線の距離の公式の計算

点と直線の距離の公式

A (x_{1}, y_{1}) と直線 ax+by+c=0 の距離は、

d=\displaystyle\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

 

 

 

Point

円の中心から直線に垂線を引く

f:id:smohisano:20210713214259p:plain


 

解説

円の中心 (0,0) を点 O とする。

また、円と直線の交点を A,B とし、線分 AB の中点を M とすると

f:id:smohisano:20210713214322p:plain

 

 

OM=\displaystyle\frac{\mid 2 \mid}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}（点と直線の距離の公式を使う）

0A=\sqrt{5} であるから（半径より）

f:id:smohisano:20210713214807p:plain

図より

AB=2AM=2\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}

=2\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}

=2\sqrt{3}

 

おわりに

複雑な公式が複数活用されるので、一つ一つの公式を着目して公式の導入から確認していこう。

 

もっと詳しく教えてほしいという方は、

下記の相談フォームからご連絡ください。

いつでもお待ちしております。

 

お問い合わせフォーム

https://forms.gle/2RVgwcMPcL5YxWbV7